任意売却しても自宅に住み続けられるの？

今の段階ですと、「催告書」が届いた段階でしょうか。これまでの延滞金と遅延損害金を全額支払わなければ保証会社に代位弁済させ競売の手続きに入りますよという金融機関からの最後通告です。ご相談者のほとんどが競売を避けるために「任意売却」をご希望されます。
競売は最終的に落札者が決定すると強制的に退去しなければいけません。一方で、任意売却では条件が揃えばそのまま住み続けられることもできます。それを「リースバック」といいます。
リースバックとは、自宅を投資家や不動産会社の第三者に売却し、その買主から賃貸物件として借りることで売却後もそのままご自宅に住み続けられるという仕組みのことです。

メリットとしては、引越しが不要。固定資産税の負担をしなくてよくなる。売却したことがはた目からは気づかれない。子どもの学区が変わらないなどがあります。

ただし、条件が揃えばと先に書きましたがどういうことかといいますと、任意売却においては3つの条件を満たす必要があります。

❶債権者（保証会社・サービサー）の承諾が大前提
任意売却は、債権者の同意が得られなければできません。また、売却価格の決定権は債権者にあり、売却は認められても債権者の指定した売却価格にリースバックでの評価額が届かない場合は成立しません。

❷買い手が見つからないと始まりません
当然、第三者に買い取ってもらわないといけませんので、買い手からすると投資物件として魅力的な物件かを総合的に判断します。都心部またはその周辺にある物件か？流通性の高い物件か？場所によっては成立しないこともあります。

❸毎月の家賃を安定的に支払える収入があること
これから賃貸物件に住み続けますので年金収入でも構いませんが、それを証明できるエビデンスがなければ難しいです。また毎月の賃料支払いが滞ると退去させられます。

これらの条件を満たせばリースバックは成立し、任意売却後も変わらず住み続けられることができます。また、将来的に買戻すことも可能です。買戻すときの価格は、リースバック契約時に決めておくことができ、契約期間内であればいつでも決めた価格で買い戻すことができます。
競売になると強制的に退去しないといけないのに比べて、任意売却ではこのように、変わらず住み続けたり、買戻しができたりと選択肢が広がります。